《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT课件(第1课时一元二次不等式及其解法)

《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT课件(第1课时一元二次不等式及其解法)

第一部分内容：学 习 目 标

1.掌握一元二次不等式的解法(重点).

2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点).

核 心 素 养

通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养.

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二次函数与一元二次方程不等式PPT，第二部分内容：自主预习探新知

新知初探

1．一元二次不等式的概念

只含有______未知数，并且未知数的最高次数是___的不等式，称为一元二次不等式．

2．一元二次不等式的一般形式

(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．

(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．

(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．

(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．

思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？

提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．

3．一元二次不等式的解与解集

使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的______．

思考2：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？

提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．

4．三个“二次”的关系

思考3：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？

提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则a>0，1＋4a<0，解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.

初试身手

1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为()

A.xx＞3或x＜－12

B.x－12≤x≤3

C.xx≥3或x≤－12

D．R

2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为()

A.x－1＜x＜13　

B.x13＜x＜1

C．∅

D．R

3．不等式x2－2x－5>2x的解集是________．

4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________．

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二次函数与一元二次方程不等式PPT，第三部分内容：合作探究提素养

一元二次不等式的解法

【例1】解下列不等式：

(1)2x2＋7x＋3>0；

(2)－4x2＋18x－814≥0；

(3)－2x2＋3x－2<0.

[解]　(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－12.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为xx>－12或x<－3.

(2)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为xx＝94.

(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.

规律方法

解不含参数的一元二次不等式的一般步骤

1化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.

2判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.

3求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.

4画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.

5写解集.根据图象写出不等式的解集.

课堂小结

1．解一元二次不等式的常见方法

(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：

①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；

②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；

③由图象得出不等式的解集．

(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．

当m

若(x－m)(x－n)＜0，则可得{x|m＜x＜n}．

有口诀如下：大于取两边，小于取中间．

2．含参数的一元二次型的不等式

在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑

(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.

(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．

(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，

x1＝x2，x1＜x2.

3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标.

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二次函数与一元二次方程不等式PPT，第四部分内容：当堂达标固双基

1．思考辨析

(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．()

(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．()

(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1

(4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.()

[提示]　(1)错误．当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，是一元二次不等式．

(2)错误．因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.

(3)错误．当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1

(4)正确．因为Δ＝(－2)2－12<0，所以不等式x2－2x＋3>0的解集为R.

2．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)x－1a<0的解集为________．

3．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是xx<－2或x>－12，则ax2－bx＋c>0的解集为________．

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