《三角函數的概念》三角函數PPT課件(第2課時同角三角函數的基本關係)

《三角函數的概念》三角函數PPT課件(第2課時同角三角函數的基本關係)

第一部分內容：學 習 目 標

1.理解並掌握同角三角函數基本關係式的推導與應用． (重點)

2．會利用同角三角函數的基本關係式進行化簡、求值與恆等式證明． (難點)

核 心 素 養

1.透過同角三角函數的基本關係進行運算，培養數學運算素養．

2．借助數學式子的證明，培養邏輯推理素養.

三角函數的概念PPT，第二部內容：自主預習探新知

新知初探

1．平方關係

(1)公式：sin2α＋cos2α＝_____.

(2)語言敘述：同一個角α的正弦、餘弦的平方和等於_____.

2．商數關係

(1)公式：sin αcos α＝_____(α≠kπ＋π2，k∈Z)．

(2)語言敘述：同一個角α的正弦、餘弦的商等於__________．

思考：對任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？

提示：成立．平方關係中強調的同一個角且是任意的，與角的表達形式無關．

初試身手

1．化簡1－sin23π5的結果是()

A． cos3π5　B． sin3π5

C． －cos3π5 D． －sin3π5

2．若α是第二象限的角，下列各式中成立的是()

A． tan α＝－sin αcos α

B． cos α＝－1－sin2 α

C． sin α＝－1－cos2 α

D． tan α＝cos αsin α

3．若cos α＝35，且α為第四象限角，則tan α＝________.

三角函數的概念PPT，第三部分內容：合作探究提素養

直接應用同角三角函數關係求值

【例1】(1)已知α∈π，3π2，tan α＝2，則cos α＝________.

(2)已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．

[思路點撥]　(1)依tan α＝2和sin2α＋cos2α＝1列方程組求cos α.

(2)先由已知條件判斷角α為第幾象限角，再分類討論求sin α，tan α.

規律方法

利用同角三角函數的基本關係來解決給值求值問題的方法：

1已知角α的某一種三角函數值，求角α的其餘三角函數值，要注意公式的合理選擇，一般是先選用平方關係，再用商數關係.

2若角α所在的象限已經確定，求另兩種三角函數值時，只有一組結果；若角α所在的象限不確定，應分類討論，一般有兩組結果.

提醒：應用平方關係求三角函數值時，要注意有關角終邊位置的判斷，確定所求值的符號.

追蹤訓練

1．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．

[解]　∵sin α＋3cos α＝0，

∴sin α＝－3cos α.

又sin2α＋cos2α＝1，

∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，

即10cos2α＝1，

∴cos α＝±1010.

又由sin α＝－3cos α，

可知sin α與cos α異號，

∴角α的終邊在第二或第四象限．

當角α的終邊在第二象限時，cos α＝－1010，sin α＝31010；

當角α的終邊在第四象限時，cos α＝1010，sin α＝－31010.

靈活應用同角三角函數關係式求值

【例2】(1)已知sin α＋cos α＝713，α∈(0，π)，則tan α＝________.

(2)已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，計算下列各式的值．

①3sin α－cos α2sin α＋3cos α；

②sin2α－2sin αcos α＋1.

[思路點撥](1)法一：求sin αcos α→求sin α－cos α→求sin α與cos α→求tan α

法二：求sin αcos α→弦化切建構關於tan α的方程式→求tan α

(2)求tan α→換元或弦化切求值

規律方法

1． sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三個式中，已知其中一個，可以求其他兩個，即“知一求二”，它們之間的關係是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.

2．已知tan α＝m，求關於sin α，cos α的齊次式的值

解這類問題需注意以下兩點：(1)一定是關於sin α，cos α的齊次式(或能化為齊次式)的三角函數式；(2)因為cos α≠0，所以可除以cos α，這樣可將被求式化為關於tan α的表達式，然後代入tan α＝m的值，從而完成被求式的求值．

提醒：求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根據角的終邊位置，利用三角函數線判斷它們的符號．

三角函數的概念PPT，第四部分內容：當堂達標固雙基

1．思考辨析

(1)對任意角α，sin α2cos α2＝tan α2都成立． ()

(2)因為sin2 94π＋cos2 π4＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β為任意角． ()

(3)對任意角α，sin α＝cos α•tan α都成立． ()

[提示]　由同角三角函數的基本關係知(2)錯，由正切函數的定義域知α不能取任意角，所以(1)錯，(3)錯．

2．已知tan α＝－12，則2sin αcos αsin2α－cos2α的值是()

A.43B． 3

C． －43　D． －3

3．已知α是第二象限角，tan α＝－12，則cos α＝________.

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