《冪函數》函數的概念與性質PPT

描述

《冪函數》函數的概念與性質PPT

第一部分內容：課標闡釋

1.透過具體實例,了解冪函數的概念,會求冪函數的解析式.

2.結合冪函數y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x^(1/2)的圖象,理解它們的變化規律.

3.能利用冪函數的基本性質來解決相關的實際問題.

冪函數PPT，第二部內容：自主預習

一、冪函數的定義

1.(1)函 數y=2x與y=x2有何不同?

提示:在函數y=2x中,常數2為底數,自變數x為指數,故為指數函數;而在函數y=x2中,自變數x為底數,常數2為指數,故為冪函數.

(2) 函數y=x,y=x2,y=x3,y=x-1及y=x^(1/2)解析式有何共同特徵?

提示:底數是自變數,自變數的係數為1;指數為常數;冪xα的係數為1;解析式等號右邊只有1項.

2.填空

一般地,函數y=xα叫做冪函數,其中x是自變數,α是常數.

3.做一做

在函數y=1/x^4 ,y=3x2,y=x2+2x,y=1中,冪函數的個數為　.

解析:函數y=1/x^4 =x-4為冪函數;函數y=3x2中x2的係數不是1,所以它不是冪函數;函數y=x2+2x不是y=xα(α∈R)的形式,所以它不是冪函數;函數y=1與y=x0=1(x≠0)不是同一函數,所以y=1不是冪函數.

答案:1

二、冪函數的圖象及性質

1.在同一平面直角座標系中,冪函數y=x,y=x2,y=x3,y=x^(1/2),y=x-1的圖像如下圖所示.

(1)它們的圖像都過同一定點嗎?

提示:是的,都過定點(1,1).

(2)上述5個函數中,在(0,+∞)內是增函數的有哪幾個?是減函數的呢?

提示:在(0,+∞)內是增函數的有:y=x,y=x2,y=x3,y= .在(0,+∞)內是減函數的有:y=x-1 .

(3)上述5個函數中,圖象關於原點對稱,是奇函數的有哪幾個?圖象關於y軸對稱,是偶函數的呢?

提示:圖象關於原點對稱,是奇函數的有:y=x,y=x3,y=x-1;圖象關於y軸對稱,是偶函數的有:y=x2.

2.填表

冪函數的性質

3.判斷正誤:

(1)冪函數的圖象可以出現在平面直角座標系中的任一個像限.()

(2)冪函數的圖象必過(0,0)和(1,1).()

答:(1)×　(2)×

冪函數PPT，第三部分內容：探究學習

冪函數的概念

例1 函數f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數,且當x∈(0,+∞)時,f(x)是增函數,試確定m的值.

分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數,且當x>0時是增函數,可先利用冪函數的定義求出m的值,再利用單調性決定m的值.

解:根據冪函數的定義,

得m2-m-5=1,

解得m=3或m=-2.

當m=3時,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函數;

當m=-2時,f(x)=x-3在(0,+∞)上是減函數,不符合要求.故m=3.

反思感悟判斷函數是否為冪函數的依據是該函數是否為y=xα(α為常數)的形式,即:(1)係數為1;(2)指數為常數;(3)後面不加任何項.反之,若一個函數為冪函數,則該函數必具有這種形式.

變式訓練1如果冪函數y=(m2-3m+3)x^(m^2 "-" m"-" 2)的圖像不過原點,求實數m的取值.

解:由冪函數的定義得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;

當m=1時,m2-m-2=-2,函數為y=x-2,其圖像不過原點,滿足條件;

當m=2時,m2-m-2=0,函數為y=x0,其圖像不過原點,滿足條件.

綜上所述,m=1或m=2.

冪函數PPT，第四部分內容：思想方法

冪函數的「凸」性

(1)上凸函數、下凸函數的定義

設函數f(x)在[a,b]上有定義,若[a,b]中任意不同兩點x1,x2,f (x_1+x_2)/2 ≥ (f"(" x_1 ")" +f"(" x_2 ")" )/2都成立,則稱f(x)在[a,b]上是上凸的函數,即上凸函數.

設函數f(x)在[a,b]上有定義,若[a,b]中任意不同兩點x1,x2,f (x_1+x_2)/2 ≤ (f"(" x_1 ")" +f"(" x_2 ")" )/2都成立,則稱f(x)在[a,b]上是下凸的函數,即下凸函數.

這個定義從幾何形式上看就是:在函數f(x)的圖像上取任意兩點,如果函數圖像在這兩點之間的部分總在連接這兩點的線段的上方,那麼這個函數就是上凸函數;如果函數圖像在這兩點之間的部分總在連接這兩點的線段的下方,那麼這個函數就是下凸函數.根據函數圖象判斷,一般開口向下的二次函數是上凸函數,開口向上的二次函數是下凸函數.

(2)冪函數的凸性

①冪函數y=xα,x∈(0,+∞),在α>1時,函數是下凸函數;

②冪函數y=xα,x∈(0,+∞),在0<α<1時,函數是上凸函數;

③冪函數y=xα,x∈(0,+∞),在α<0時,函數是下凸函數.

冪函數PPT，第五部分內容：隨堂演練

1.冪函數y=kxα過點(4,2),則k-α的值為()

A.-1 B.1/2 C.1 D.3/2

解析:冪函數y=kxα過點(4,2),

所以{■(k=1"," @4^α=2"," )┤解得{■(k=1"," @α=1/2 "." )┤所以k-α=1/ 2.

答案:B

2.冪函數y=x2,y=x-1,y=x^(1/3),y=x^("-" 1/2)在第一象限內的圖象依序是下圖中的曲線()

A.C2,C1,C3,C4

B.C4,C1,C3,C2

C.C3,C2,C1,C4

D.C1,C4,C2,C3

解析:冪函數圖像在第一象限內直線x=1右邊的「高低」關係是「指大圖高」,故冪函數y=x2在第一象限內的圖象為C1,y=x -1在第一象限內的圖象為C4, y=x^(1/3)在第一象限內的圖象為C2, y=x^(1/3) 在第一象限內的圖象為C3.

答案:D

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更新時間: 2024-09-08

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