《習題課 三角恆等變換的應用》三角函數PPT

《習題課 三角恆等變換的應用》三角函數PPT

第一部分內容：課標闡釋

1.能夠運用三角函數公式對函數解析式進行化簡,以研究函數的性質.

2.能夠運用三角函數公式解決求值與化簡問題.

3.掌握三角恆等變換在實際問題中的應用.

習題課三角恆等變換的應用PPT，第二部分內容：自主預習

一、降冪和升冪公式

1.填空

(1)降冪公式:sin2α=(1"-" cos2α)/2,cos2α=(1+cos2α)/2,sin αcos α=1/2sin 2α.

(2)升冪公式:1+cos α=2cos2α/2,1-cos α=2sin2α/2.

2.做一做

(1)函數y=sin(2x+π/3)cos(2x+π/3)的最小正週期為()

A.2π B.π C.π/2 D.π/4

(2)函數f(x)=cos2(x+π/4),x∈R,則f(x)()

A.是奇函數

B.是偶函數

C.既是奇函數,也是偶函數

D.既不是奇函數,也不是偶函數

解析:(1)因為y=sin(2x+π/3)cos(2x+π/3)

=1/2sin(4x+2π/3),所以最小正週期為2π/4=π/2.

(2)∵f(x)=(1+cos(2x+π/2))/2=1/2-1/2sin 2x,x∈R,

∴f(-x)=1/2-1/2sin 2(-x)=1/2+1/2sin 2x.

∴f("-" π/4)=1/2+1/2sin π/2=1,

f(π/4)=1/2-1/2sin π/2=0,

∴f("-" π/4)≠f(π/4),f("-" π/4)≠-f(π/4).

∴f(x)既不是奇函數,也不是偶函數.

答:(1)C　(2)D

二、輔助角公式

1.填空

asin x+bcos x=√(a^2+b^2 )sin(x+φ)

("其中" sinφ=b/√(a^2+b^2 ) "," cosφ=a/√(a^2+b^2 ) "," tanφ=b/a).

2.做一做

(1)若函數f(x)=sin x+3cos x,x∈R,則f(x)的值域為()

A.[1,3] B.[1,2]

C.[-√10,√10] D.[0,√10]

(2)函數f(x)=sin x-√3cos x(x∈[-π,0])的單調遞增區間是()

A.["-" π",-" 5π/6] B.["-" 5π/6 ",-" π/6] C.["- " π/3 "," 0] D.["-" π/6 "," 0]

解析:(1)因為f(x)=sin x+3cos x=√10sin(x+φ)(其中tan φ=3),所以函數f(x)=sin x+3cos x,x∈R,則f(x)的值域是[-√10,√10].

(2)f(x)=2(1/2 sinx"-" √3/2 cosx)=2sin(x"-" π/3),令2kπ-π/2≤x-π/3≤2kπ+ π/2,k∈Z,得到2kπ-π/6≤x≤2kπ+5π/6,k∈Z.

又x∈[-π,0],

∴x∈["-" π/6 "," 0].

答:(1)C　(2)D

習題課程三角恆等變換的應用PPT，第三部分內容：規格解答

三角恆等變換與三角函數性質的綜合應用

範例 已知函數f(x)=sin(π/2 "-" x)sin x-√3cos2x.

(1)求f(x)的最小正週期與最大值;

(2)討論f(x)在[π/6 "," 2π/3]上的單調性.

【審題策略】 先利用三角恆等變換將函數f(x)的解析式化成f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式,然後確定其性質.

【規格展示】 解:(1)f(x)=sin(π/2 "-" x)sin x-√3cos2x=cos xsin x-√3/2(1+cos 2x)

=1/2sin 2x-√3/2cos 2x-√3/2=sin(2x"-" π/3)-√3/2,

因此f(x)的最小正週期為π,最大值為(2"-" √3)/2.

(2)當x∈[π/6 "," 2π/3]時,0≤2x-π/3≤π,從而當0≤2x-π/3≤π/2,即π /6≤x≤5π/12時,f(x)單調遞增;當π/2<2x-π/3≤π,即5π/12

習題課程三角恆等變換的應用PPT，第四部分內容：隨堂演練

1.(多選題)已知函數f(x)=sin(x+π/6)cos(x+π/6),則下列判斷不正確的是()

A.f(x)的最小正週期為π/2

B.f(x"-" π/6)是奇函數

C.f(x)的一個對稱中心為(π/6 "," 0)

D.f(x)的一條對稱軸為x=π/6

解析:因為f(x)=sin(x+π/6)cos(x+π/6)=1/2sin(2x+π/3),所以f(x"-" π/6)=1/ 2sin 2x,所以f(x"-" π/6)是奇函數.

答案:ACD

2.函數y=cos(x+π/2)+sin(π/3 "-" x)具有性質()

A.最大值為1,圖象關於點(π/6 "," 0)對稱

B.最大值為√3,圖象關於點(π/6 "," 0)對稱

C.最大值為1,圖象關於直線x=π/6對稱

D.最大值為√3,圖象關於直線x=π/6對稱

解析:∵y=-sin x+√3/2cos x-1/2sin x

=-√3 (√3/2 sinx"-" 1/2 cosx)=-√3sin(x"-" π/6),

∴最大值為√3,圖象關於點(π/6 "," 0)對稱.

答案:B

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