《均值不等式及其應用》等式與不等式PPT(第1課時均值不等式)

描述

《均值不等式及其應用》等式與不等式PPT(第1課時均值不等式)

第一部分內容：學習目標

理解算術平均數與幾何平均數的概念，掌握平均數不等式及其推理過程

能運用均值不等式求函數或代數式的最值

均值不等式及其應用PPT，第二部分內容：自主學習

問題導學

預習教材P72－P75的內容，思考以下問題：

1．正數a，b的算術平均數和幾何平均數是什麼？

2．均值不等式的內容是什麼？

3．均值不等式中的等號成立的條件是什麼？

4．當兩個正數的積為常數時，它們的和有什麼特徵？

5．兩個正數的和為常數時，它們的積有什麼特徵？

新知初探

1．算術平均值與幾何平均值

已知兩個正數a，b，數____________稱為a，b的算術平均數；數ab 稱為a，b的幾何平均．

2．均值不等式

如果a，b都是正數，那麼_______________，當且僅當a＝b時，等號成立．

■名師點撥

(1)兩個不等式a2＋b2≥2ab與a＋b2≥ab成立的條件是不同的．前者要求a，b是實數即可，而後者要求a，b都是正實數(實際上後者只要a≥0，b≥0即可)．

(2)兩個不等式a2＋b2≥2ab和a＋b2≥ab都是帶有等號的不等式，都是「當且僅當a＝b時，等號成立」．

3．均值不等式與最值

已知x＞0，y＞0，則

(1)若x＋y＝s(且為定值)，則當x＝y時，積xy取得最_____值s24.

(2)若xy＝p(積為定值)，則當x＝y時，且x＋y取得最______值2p.

即：兩個正數的積為常數時，它們的和有______值；

兩個正數的和為常數時，它們的積有______值．

■名師點撥

利用平均數不等式求最值，必須依照「一正，二定，三相等」的原則，即：

①一正：符合平均數不等式a＋b2≥ab成立的前提條件，a＞0，b＞0；

②二定：化不等式的一邊為定值；

③三相等：必須存在取「＝」號的條件，即「＝」號成立．

以上三點缺一不可．

自我檢測

判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)

(1)對任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立． ()

(2)若a>0，b>0且a≠b，則a＋b>2ab.()

(3)若a>0，b>0，則ab≤a＋b22.()

(4)a，b同號時，ba＋ab≥2.()

(5)函數y＝x＋1x的最小值為2.()

如果a>0，則a＋1a＋2的最小值是()

A． 2B． 22

C． 3 D． 4

不等式(x－2y)＋1x－2y≥2成立的前提條件為()

A． x≥2y B． x>2y

C． x≤2y D． x<2y

平均數不等式及其應用PPT，第三部分內容：講練互動

對均值不等式的理解

下列結論正確的是()

A．若x∈R，且x≠0，則4x＋x≥4

B．當x>0時，x＋1x≥2

C．當x≥2時，x＋1x的最小值為2

D．當0

利用均值不等式直接求最值

(1)已知t＞0，求y＝t2－4t＋1t的最小值；

(2)若實數x，y滿足2x＋y＝1，求xy的最大．

規律方法

(1)若a＋b＝p(且為定值)，當a＝b時，積ab有最大值p24，可用均值不等式ab≤a＋b2求得．

(2)若ab＝s(積為定值)，則當a＝b時，和a＋b有最小值2s，可以用均值不等式a＋b≥2ab求得．

不論哪一種情況都要注意取得等號的條件是否成立．

利用均值不等式借助拼湊法求最值

(1)已知x>2，則y＝x＋4x－2的最小值為________．

(2)若x，y∈(0，＋∞)，且x＋4y＝1，則1x＋1y的最小值為________．

求解策略

以拼湊法利用均值不等式求最值的策略

拼湊法的實質在於代數式的靈活變形，拼係數、湊常數是關鍵，利用拼湊法求解最值應注意以下幾個面向：

(1)拼湊的技巧，以整數為基礎，注意利用係數的變化以及等式中常數的調整，做到等價變形．

(2)代數式的變形以拼湊出和或積的定值為目標．

(3)拆項、添項應注意檢定利用平均數不等式的前提．

均值不等式及其應用PPT，第四部分：達標回饋

1．下列不等式中，正確的是()

A． a＋4a≥4B． a2＋b2≥4ab

C． ab≥a＋b2 D． x2＋3x2≥23

2．若a>0，b>0，a＋2b＝5，則ab的最大值為()

A． 25 B． 252

C． 254 D． 258

3．若a＞1，則a＋1a－1的最小值是()

A． 2 B． a

C． 2aa－1 D． 3

4．已知x，y為正實數，且x＋y＝4，求1x＋3y的最小值．

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更新時間: 2024-10-03

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