《均值不等式及其應用》等式與不等式PPT課件(第1課時均值不等式)

描述

《均值不等式及其應用》等式與不等式PPT課件(第1課時均值不等式)

第一部分內容：學 習 目 標

1.掌握均值不等式，明確均值不等式成立的條件． (難點)

2．會用平均數不等式證明一些簡單的不等式或比較代數式的大小． (重點)

核 心 素 養

1.透過不等式的證明，培養邏輯推理的素養．

2．透過均值不等式形式求簡單的最值問題，提升數學運算的素養.

均值不等式及其應用PPT，第二部分內容：自主預習探新知

新知初探

1．算術平均值與幾何平均值

對於正數a，b，常把a＋b2叫做a，b的_________，把ab叫做a，b的_________．

2．均值不等式

(1)當a＞0，b＞0時，有a＋b2 ab，當且僅當a＝b時，等號成立；

(2)均值不等式的常見變形

①當a＞0，b＞0，則a＋b≥2ab；

②若a＞0，b＞0，則ab a＋b22.

初試身手

1．不等式a2＋1≥2a中等號成立的條件是()

A． a＝±1　B． a＝1

C． a＝－1 D． a＝0

2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是()

A． a2＋b2B． 2abC． 2ab　D． a＋b

3．已知ab＝1，a>0，b>0，則a＋b的最小值為()

A． 1 B． 2 C． 4 D． 8

4．當a，b∈R時，下列不等關係成立的是________．

①a＋b2≥ab；②a－b≥2ab；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.

均值不等式及其應用PPT，第三部分內容：合作探究提素養

對均值不等式的理解

【例1】給出下面三個推導過程：

①∵a，b為正實數，∴ba＋ab≥2ba•ab＝2；

②∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥24a•a＝4；

③∵x，y∈R，xy＜0，∴xy＋yx＝－－xy＋－yx≤－2－xy－yx＝－2.

其中正確的推導為()

A． ①②　B． ①③

C． ②③ D． ①②③

規律方法

1．平均數不等式ab≤a＋b2 (a＞0，b＞0)反映了兩個正數的和與積之間的關係．

2．對均值不等式的準確掌握要抓住以下兩個面向：

(1)定理成立的條件是a，b都是正數．

(2)「當且僅當」的意思：當a＝b時，ab≤a＋b2的等號成立，即a＝b⇒a＋b2＝ab；僅當a＝b時，a＋b2≥ab的等號成立，即a＋b2＝ab⇒a＝b.

利用均值不等式比較大小

【例2】(1)已知a，b∈(0，＋∞)，則下列各式中不一定成立的是()

A． a＋b≥2ab B.ba＋ab≥2

C.a2＋b2ab≥2ab D.2aba＋b≥ab

(2)已知a，b，c是兩兩不等的實數，則p＝a2＋b2＋c2與q＝ab＋bc＋ca的大小關係是________．

規律方法

1．在理解均值不等式時，要從形式到內含​​中理解，特別要關注條件．

2．運用平均數不等式比較大小時應注意成立的條件，即a＋b≥2ab成立的條件是a>0，b>0，等號成立的條件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的條件為a，b∈R ，等號成立的條件是a＝b.

利用均值不等式證明不等式

【例3】已知a，b，c是互不相等的正數，且a＋b＋c＝1，求證：1a＋1b＋1c>9.

規律方法

1．條件不等式的證明，要將待證不等式與已知條件結合起來考慮，例如本題透過「1」的代換，將不等式的左邊化成齊次式，一方面為使用均值不等式創造條件，另一方面可實現約分與不等式的右邊建立聯繫．

2．先局部運用均值不等式，再利用不等式的性質(注意限制條件)，透過相加(乘)合成為待證的不等式，既是運用均值不等式時的一種重要技能，也是證明不等式時的一種常用方法．

課堂小結

1．在應用平均值不等式時要隨時注意其成立的條件，只有當a>0，b>0時，才會有ab≤a＋b2.對於「當且僅當…時，'＝'成立…」這句話要從兩個方面來理解：一方面，當a＝b時，a＋b2＝ab；另一方面：當a＋b2＝ab時，也有a＝b.

2．應用均值不等式證明不等式的關鍵在於進行“拼”“湊”“拆”“合”“放縮”等變形，構造出符合均值不等式的條件結構.

均值不等式及其應用PPT，第四部分：當堂達標固雙基

1．思考辨析

(1)對任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab均成立． ()

(2)若a≠0，則a＋1a≥2a•1a＝2.()

(3)若a>0，b>0，則ab≤a＋b22.()

[提示](1)任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，當a，b皆為正數時，不等式a＋b≥2ab成立．

(2)只有當a>0時，依平均值不等式，才有不等式a＋1a≥2a•1a＝2成立．

(3)因為ab≤a＋b2，所以ab≤a＋b22.

2．設a>b>0，則下列不等式中一定成立的是()

A． a－b<0　B． 0

C.aba＋b

3．不等式9x－2＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等號成立的條件是()

A． x＝3 B． x＝－3

C． x＝5 D． x＝－5

4．設a>0，b>0，證明：b2a＋a2b≥a＋b.

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更新時間: 2024-11-17

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