《習題課 單調性與奇偶性的綜合應用》函數的概念與性質PPT

描述

《習題課 單調性與奇偶性的綜合應用》函數的概念與性質PPT

第一部分內容：課標闡釋

1.理解函數奇偶性與單調性的關係.

2.能運用函數的單調性與奇偶性等解決比較大小、求最值、解不等式等綜合問題.

習題課單調性與奇偶性的綜合應用PPT，第二部分內容：自主預習

奇、偶函數在對稱區間上的單調性

1.(1)已知函數y=f(x)在R上是奇函數,且在(0,+∞)是增函數.那麼y=f(x)在它的對稱區間(-∞,0 )上單調性如何?

提示:奇函數的圖象關於座標原點對稱,所以在兩個對稱的區間上單調性相同.即y=f(x)在它的對稱區間(-∞,0)上單調遞增.

(2)你能用函數單調性的定義來證明上面的結論嗎?

提示:∀x1,x2∈(-∞,0),且x1-x2>0,

∵y=f(x)在(0,+∞)上是增函數,

∴f(-x1)>f(-x2).

∵y=f(x)在R上是奇函數,

∴f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2),

∴-f(x1)>-f(x2),∴f(x1)

∴函數y=f(x)在(0,+∞)上是增函數.

(3)已知函數y=f(x)在R上是偶函數,且在(0,+∞)是減函數,y=f(x)在它的對稱區間(-∞,0)上是增函數還是減函數?

提示:偶函數的圖象關於y軸對稱,所以在兩個對稱的區間上單調性相反.即y=f(x)在它的對稱區間(-∞,0)上單調遞增.

(4)你能用函數單調性的定義來證明上面的結論嗎?

提示:∀x1,x2∈(-∞,0),且x1-x2>0,

∵y=f(x)在(0,+∞)上是減函數,

∴f(-x1)

∵y=f(x)在R上是偶函數,

∴f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),

∴f(x1)

∴函數y=f(x)在(0,+∞)上是增函數.

2.填空

(1)若函數f(x)是奇函數,且f(x)在區間[a,b]上是單調函數,則f(x)在其對稱區間[-b ,-a]上也是單調的,且單調性相同.

(2)若函數f(x)是偶函數,且f(x)在區間[a,b]上是單調函數,則f(x)在其對稱區間["− " ?",−" ?]上也是單調的,且單調性相反.

3.做一做

(1)若奇函數f(x)在[-6,-2]上是減函數,且最小值是1,則它在[2,6]上是( )

A.增函數且最小值是-1 B.增函數且最大值是-1

C.減函數且最大值是-1 D.減函數且最小值是-1

解析:∵奇函數f(x)在[-6,-2]上是減函數,且最小值是1,∴函數f(x)在[2,6]上是減函數且最大值是-1.

答案:C

(2)若偶函數f(x)在(-∞,0]上是增函數,則f(-5),f( ),f(-2),f(4)的大小關係為_ __________________________.

解析:因為f(x)是偶函數,且在(-∞,0]上是增函數,所以f(x)在[0,+∞)上是減函數,且f(- 5)=f(5),f(-2)=f(2).因為√3<2<4<5,所以f(5)

練習課單調性與奇偶性的綜合應用PPT，第三部分內容：探究學習

應用函數的單調性與奇偶性判定函數值的大小

例1 已知偶函數f(x)的定義域為R,當x∈[0,+∞)時,f(x)是增函數,則f(-2),f(π), f(-3)的大小關係是()

A.f(π)>f(-3)>f(-2)

B.f(π)>f(-2)>f(-3)

C.f(π)

D.f(π)

解析:∵f(x)在R上是偶函數,∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).∵2<3<π,且f(x)在區間[0,+∞)上為增函數,∴f(2)

∴f(-2)

答案:A

反思感悟應用函數的單調性與奇偶性判斷函數值的大小時,先利用函數的奇偶性將自變數轉換到同一個單調區間上,再根據函數的單調性對函數值的大小作出比較.

延伸探究(1)若將本例中的「增函數」改為「減函數」,其他條件不變,則f(-2),f(π),f(-3)的大小關係如何?

(2)若將本例中的「偶函數」改為「奇函數」,其他條件不變,比較這三個數的大小.

解:(1)因為當x∈[0,+∞)時,f(x)是減函數,所以有f(2)>f(3)>f(π).又因為f(x )是R上的偶函數,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),從而有f(-2)>f(-3)>f(π).

(2)因為函數為定義在R上的奇函數,且在[0,+∞)上為增函數,所以函數在R上是增函數,

因為-3<-2<π,所以f(-3)

習題課單調性與奇偶性的綜合應用PPT，第四部分內容：思考辨析

判斷抽象函數的奇偶性

典例已知函數f(x),x∈R,若對於任意實數a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),求證:函數f(x)為奇函數.

證明:由題意可知,函數的定義域為R,關於原點對稱.

令a=0,則f(b)=f(0)+f(b),∴f(0)=0.

又令a=-x,b=x,代入,得f(-x+x)=f(-x)+f(x),即0=f(-x)+f(x),∴f( -x)=-f(x),

∴函數f(x)為奇函數.

反思感悟 判斷抽象函數的奇偶性主要是利用賦值法,並結合已知條件尋找f(-x)與f(x)的關係,從而得出結論.

變式訓練已知函數f(x),x∈R,若對任意實數x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)·f(x2),

求證:函數f(x)為偶函數.

證明:令x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x).①

令x2=0,x1=x,得f(x)+f(x)=2f(0)f(x).②

由①②得f(x)+f(-x)=f(x)+f(x),即f(-x)=f(x),

所以函數f(x)為偶函數.

習題課單調性與奇偶性的綜合應用PPT，第五部分內容：隨堂演練

1.若f(x)是定義在[-6,6]上的偶函數,且f(4)>f(1),則下列各式一定成立的是()

A.f(0)f(3) C.f(2)>f(0) D.f(-1)

解析:∵f(x)是定義在[-6,6]上的偶函數,

∴f(-1)=f(1).又f(4)>f(1),f(4)>f(-1).

答案:D

2.若f(x)滿足f(-x)=f(x),且f(x)在(-∞,-1]上是增函數,則()

A.f("-" 3/2)

B.f(-1)

C.f(2)

D.f(2)

解析:∵f(-x)=f(x),∴f(2)=f(-2),

∵-2<-3/2<-1,又f(x)在(-∞,-1]上是增函數,∴f(-2)

答案:D

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更新時間: 2024-08-01

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