《單調性、最大值與最小值》三角函數PPT

描述

《單調性、最大值與最小值》三角函數PPT

第一部分內容：課標闡釋

1.理解正弦函數與餘弦函數的單調性,會求函數的單調區間.

2.能夠利用三角函數單調性比較三角函數值的大小.

3.能夠結合三角函數的單調性求函數的最值和值域.

單調性最大值與最小值PPT，第二部內容：自主預習

一、正弦函數與餘弦函數的單調性

1.觀察正弦曲線,正弦函數在哪些區間上是增函數?在哪些區間上是減函數?如何將這些單調區間進行整合?類似地,餘弦函數在哪些區間上是增函數?在哪些區間上是減函數?怎麼整合這些區間?

提示:正弦函數在每一個閉區間["-" π/2+2kπ"," π/2+2kπ]

(k∈Z)上都是增函數;在每一個閉區間[π/2+2kπ"," 3π/2+2kπ]

(k∈Z)上都是減函數;餘弦函數在每一個閉區間[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上都是增函數;在每一個閉區間[ ;2kπ,π+2kπ](k∈Z)上都是減函數.

2.填空

(1)正弦函數y=sin x在每一個閉區間["-" π/2+2kπ"," π/2+2kπ](k∈Z)上都單調遞增;在每一個閉區間[π/2+2kπ"," 3π/2+2kπ](k∈Z)上都單調遞減;

(2)餘弦函數y=cos x在每一個閉區間[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上都單調遞增;在每一個閉區間[2kπ,π+ 2kπ](k∈Z)上都單調遞減.

3.做一做

(1)函數y=sin 2x-1的單調遞增區間是___________;

(2)函數y=3-cos 2x的單調遞增區間是___________.

解析:(1)設-π/2+2kπ≤2x≤π/2+2kπ,k∈Z,

解得-π/4+kπ≤x≤π/4+kπ,k∈Z,故函數的單調遞增區間是["-" π/4+kπ"," π/4+kπ] ;(k∈Z).

(2)函數y=3-cos 2x的單調遞增區間即為函數y=cos 2x的單調遞減區間,令2kπ≤2x≤π+2kπ,k∈Z,解得kπ≤x≤π/2+kπ ,k∈Z,故函數的遞增區間是kπ,π/2+kπ (k∈Z).

答案:(1)["-" π/4+kπ"," π/4+kπ](k∈Z)

(2)[kπ"," π/2+kπ](k∈Z)

二、正弦函數與餘弦函數的最值與值域

1.觀察正弦曲線和餘弦曲線,正、餘弦函數是否存在最大值和最小值?若存在,其最大值和最小值分別為多少?當自變量x分別取何值時,正弦函數y=sin x取得最大值和最小值?餘弦函數呢?

提示:正、餘弦函數存在最大值1與最小值-1;正弦函數當且僅當x=2kπ+π/2(k∈Z)時取最大值1,當且僅當x=2kπ+3π/ 2(k∈Z)時取最小值-1;餘弦函數當且僅當x=2kπ(k∈Z)時取最大值1,當且僅當x=π+2kπ(k∈Z)時取最小值-1.

2.填空

(1)正弦函數y=sin x當且僅當x=2kπ+π/2(k∈Z)時取最大值1;當且僅當x=2kπ+3π/2(k∈Z)時取最小值-1;

(2)餘弦函數y=cos x當且僅當x=2kπ(k∈Z)時取最大值1;當且僅當x=2kπ+π(k∈Z)時取最小值-1.

(3)正弦函數y=sin x、餘弦函數y=cos x的值域都是[-1,1].

3.做一做

(1)函數y=2-3sin x的最小值是___________;

(2)當函數y=cos 取得最大值時,x的值等於___________.

解析:(1)因為y=sin x的最大值為1,所以y=2-3sin x的最小值是-1.

(2)當 =2kπ,k∈Z,即x=4kπ,k∈Z時,函數y=cos 取得最大值.

答:(1)-1　(2)4kπ(k∈Z)

單調性最大值與最小值PPT，第三部分內容：探究學習

求三角函數的單調區間

例1求下列函數的單調遞減區間:

(1)y=1/2cos(2x+π/3);

(2)y=2sin(π/4 "-" x).

分析:(1)可採用整體換元法並結合正弦函數、餘弦函數的單調區間解;(2)可先將自變數x的係數轉換為正數再求單調區間.

解:(1)令z=2x+π/3,而函數y=cos z的單調遞減區間是[2kπ,2kπ+π](k∈Z).

∴當原函數單調遞減時,可得2kπ≤2x+π/3≤2kπ+π(k∈Z),

解得kπ-π/6≤x≤kπ+π/3(k∈Z).

∴原函數的單調遞減區間是[kπ"-" π/6 "," kπ+π/3](k∈Z).

反思感悟 與正弦函數、餘弦函數有關的單調區間的解法技巧:

(1)結合正弦、餘弦函數的圖象,熟記它們的單調區間;

(2)確定函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)單調區間的方法:採用「換元」法整體代換,將ωx+φ看成一個整體,可令「z =ωx+φ”,即藉由求y=Asin z的單調區間求出原函數的單調區間.若ω<0,則可利用誘導公式將x的係數轉變為正數.

單調性最大值與最小值PPT，第四部分：思維辨析

求三角函數最值時忽略分類討論或忽略定義域致誤

1.忽視分類討論

典例1已知函數y=2asin(2x"-" π/3)+b的定義域為 0,π/2 ,函數的最大值為1,最小值為-5,求a和b的值.

錯解∵0≤x≤π/2,∴-π/3≤2x-π/3≤2π/3.

∴-√3/2≤sin(2x"-" π/3)≤1.

則{■(2a+b=1"," @"-" √3 a+b="-" 5"," )┤解得{■(a=12"-" 6√3 "," @b ="-" 23+12√3 "." )┤

錯解錯在什麼地方?你能發現嗎?怎麼避免這類錯誤呢?

提示:錯解中預設為a>0,忽略了對a<0這一情況的討論,導致丟解.

正解:∵0≤x≤π/2,∴-π/3≤2x-π/3≤2π/3.

∴-√3/2≤sin(2x"-" π/3)≤1.

若a>0,則{■(2a+b=1"," @"-" √3 a+b="-" 5"," )┤解得{■(a=12"-" 6√3 "," @b="-" 23+12√3 "." )┤

若a<0,則{■(2a+b="-" 5"," @"-" √3 a+b=1"," )┤解得{■(a="-" 12+6√ 3 "," @b=19"-" 12√3 "." )┤

防範措施形如y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的函數,其最值與參數A的正負有關,因此在解決這類問題時,要注意對A分A>0和A<0兩種情況進行分類討論.

單調性最大與最小值PPT，第五部分內容：隨堂演練

1.函數y=-cos x在區間["-" π/2 "," π/2]上是()

A.增函數 B.減函數

C.先減後增函數 D.先增後減函數

解析:結合函數在["-" π/2 "," π/2]上的圖象可知C正確.

答案:C

2.函數y=2-sin x的最大值及取最大值時x的值為()

A.ymax=3,x=π/2

B.ymax=1,x=π/2+2kπ(k∈Z)

C.ymax=3,x=-π/2+2kπ(k∈Z)

D.ymax=3,x=π/2+2kπ(k∈Z)

解析:因為y=2-sin x,所以當sin x=-1時,ymax=3,此時x=-π/2+2kπ(k∈Z).

答案:C

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更新時間: 2024-07-07

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