《週期性、奇偶性》三角函數PPT

描述

《週期性、奇偶性》三角函數PPT

第一部分內容：課標闡釋

1.透過具體問題了解週期函數的概念,並能舉出一些具有周期現象的實例.

2.理解正弦函數與餘弦函數的週期性,會求函數的週期.

3.理解三角函數的奇偶性以及對稱性,會判斷給定函數的奇偶性.

週期性奇偶性PPT，第二部內容：自主預習

一、週期函數

1.由正弦函數的圖象可知,正弦曲線每相隔2π個單位重複出現,這一規律的理論依據是什麼?設f(x)=sin x,則sin(x+2kπ)=sin x(k ∈Z)可以怎麼表示?

提示:sin(x+2kπ)=sin x(k∈Z);f(x+2kπ)=f(x).

2.填空

週期函數的定義:對於函數f(x),如果存在一個非零常數T,使得當x取定義域內的每一個值時,都有f(x+T)=f(x),那麼函數y= f(x)叫做週期函數,非零常數T叫做這個函數的周期.

3.週期函數的週期是否唯一?正弦函數的週期有哪些?是否存在最小的一個?是否存在一個最小的正的週期?

提示:週期函數的週期不唯一;正弦函數的週期為2kπ(k∈Z,k≠0);不存在最小的一個;存在一個最小的正的週期2π.

4.填空

最小正週期:如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數,那麼這個最小正數就叫做f(x)的最小正週期.在沒有特殊說明的情況下,三角函數的週期均是指它的最小正週期.

5.做一做

(1)若函數f(x)滿足f(x+3)-f(x)=0,則函數f(x)是週期為_________的週期函數.

(2)若函數f(x)的最小正週期是4,則必有f(x+8)________f(x)(填「=」或「≠」).

解析:(1)由已知得f(x+3)=f(x),所以f(x)是周期為3的周期函數.

(2)由已知得f(x+8)=f(x+4)=f(x).

答:(1)3　(2)=

二、正弦函數與餘弦函數的週期性

1.就週期性而言,對正弦函數有什麼結論?餘弦函數呢?

提示:正弦函數是週期函數,最小正週期是2π;餘弦函數也是週期函數,最小正週期也是2π.

2.填空

(1)正弦函數y=sin x是週期函數,2kπ(k∈Z,且k≠0)都是它的週期,最小正週期是2π.

(2)餘弦函數y=cos x是週期函數,2kπ(k∈Z,且k≠0)都是它的週期,最小正週期是2π.

週期性奇偶性PPT，第三部分內容：探究學習

求三角函數的周期

例1求下列三角函數的周期:

(1)y=3sin x,x∈R;

(2)y=cos 2x,x∈R;

(3)y=sin(1/3 x"-" π/4),x∈R;

(4)y=|cos x|,x∈R.

分析:對於(1)(2)(3),可用公式法求週期;對於(4),可藉助函數圖象觀察求得周期.

解:(1)3sin(x+2π)=3sin x,由週期函數的定義知,y=3sin x的週期為2π.

(2)cos 2(x+π)=cos(2x+2π)=cos 2x,由週期函數的定義知,y=cos 2x的週期為π.

(3)sin[1/3 "(" x+6π")-" π/4]=sin(1/3 x+2π"-" π/4)=sin(1/3 x" -" π/4),由週期函數的定義知,y=sin(1/3 x"-" π/4)的週期為6π.

(4)y=|cos x|的圖像如圖(實線部分)所示,

由圖象可知,y=|cos x|的周期為π.

反思感悟 求函數最小正週期的常用方法

求三角函數的週期,一般有兩種方法:(1)公式法,即先將函數化為y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式,再利用T=2π/("|" ω"|" )求;(2)圖像法,利用變換的方法或作出函數的圖象,透過觀察得到最小正週期.

三角函數奇偶性及其應用

例2判斷下列函數的奇偶性:

(1)f(x)=|sin x|+cos x;

(2)f(x)=sin(3x/4+3π/2);

(3)f(x)=(1+sinx"-" cos^2 x)/(1+sinx).

分析:求定義域→判斷定義域是否關於原點對稱→看f(-x)與f(x)的關係→判斷奇偶性

週期性奇偶性PPT，第四部分：思維辨析

對週期函數的概念理解不清致誤

典例 下列敘述中,正確的有________.(填序號)

①函數f(x)=sin(2x+π/3),x∈[-π,π]是週期函數;

②函數f(x)=sin|x|,x∈R是週期函數;

③函數y=|sin(x+π/2)|的最小正週期為π;

④若函數y=2sin(ωx+π/6)的最小正週期為4π,則ω=1/2.

錯解①②③④

本題錯在什麼地方?你能發現嗎?怎麼避免這類錯誤呢?

提示:根據週期函數的定義、三角函數的圖像以及三角函數週期公式對各個命題加以判斷.

正解:對於①,由於函數定義域為[-π,π],故函數不是周期函數,該命題錯誤;對於②,畫出函數y=sin|x|的圖象,由圖象可知,函數不是周期函數,該命題錯誤;對於③,y=|sin(x+π/2)|=|cos x|,由圖象可知函數週期為π,該命題正確;對於④,依題意應有2π/("|" ω"|" )=4π,故ω=±1/2,該命題錯誤.

答案:③

防範措施研究三角函數的週期時,注意從函數的定義域、解析式以及圖像等多方面進行分析,如果透過公式不易求出函數週期,可以透過觀察函數圖象來確定函數的週期,特別是含有絕對值符號的函數.

週期性奇偶性PPT，第五部分內容：隨堂演練

1.函數f(x)=sin(-x)的奇偶性是()

A.奇函數 B.偶函數

C.既是奇函數又是偶函數 D.非奇非偶函數

解析:因為x∈R,且f(-x)=sin x=-sin(-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數.

答案:A

2.函數f(x)=cos(π/6 "-" 3x)的最小正週期為()

A.2π B.12 C.2π/3 D.3π

解析:因為f(x)=cos(π/6 "-" 3x)=cos(3x"-" π/6),

所以最小正週期為T=2π/3.

答案:C

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更新時間: 2024-09-22

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