《三角恆等變換》三角函數PPT課件(第5課時簡單的三角恆等變換)

描述

《三角恆等變換》三角函數PPT課件(第5課時簡單的三角恆等變換)

第一部分內容：學 習 目 標

1.能用二倍角公式導出半角公式，能用兩角和與差的三角函數公式導出積化和差、和差化積公式．體會其中的三角恆等變換的基本思想方法，以及進行簡單的應用． (重點)

2.了解三角恆等變換的特性、變換技巧，掌握三角恆等變換的基本思想方法，能利用三角恆等變換對三角函數式化簡、求值以及三角恆等式的證明和一些簡單的應用． (難點、易錯點)

核 心 素 養

1.透過公式的推導，培養邏輯推理素養.

2.借助三角恆等變換的簡單應用，提升數學運算素養.

三角恆等變換PPT，第二部內容：自主預習探新知

半角公式

(1)sinα2＝± 1－cos α2，

(2)cosα2＝± 1＋cos α2，

(3)tanα2＝± 1－cos α1＋cos α，

(4)tanα2＝sin α2cosα2＝sinα2•2cosα2cosα2•2cosα2＝sin α1＋cos α，

tanα2＝sinα2cosα2＝sinα2•2sinα2cosα2•2sinα2＝1－cos αsin α.

初試身手

1．已知180°＜α＜360°，則cosα2的值等於()

A． －1－cos α2　B.1－cos α2

C． －1＋cos α2 D.1＋cos α2

2．已知cos α＝35，α∈3π2，2π，則sin α2等於()

A.55B． －55

C.45D.255

3．已知2π＜θ＜4π，且sin θ＝－35，cos θ＜0，則tanθ2的值等於________．

三角恆等變換PPT，第三部分內容：合作探究提素養

化簡求值問題

【例1】(1)設5π＜θ＜6π，cosθ2＝a，則sinθ4等於()

A.1＋a2　B.1－a2

C． －1＋a2 D． －1－a2

(2)已知π<α<3π2，化簡：

1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.

[思路點撥]　(1)先決定θ4的範圍，再由sin2θ4＝1－cosθ22得算式求值．

(2)1＋cos θ＝2cos2α2，1－cos α＝2sin2α2，去根號，確定α2的範圍，化簡．

規律方法

1.化簡問題中的“三變”

(1)變角：三角變換時通常先尋找式子中各角之間的聯繫，透過拆、湊等手段消除角之間的差異，合理選擇聯繫它們的公式．

(2)變名：觀察三角函數種類的差異，盡量統一函數的名稱，如統一為弦或統一為切．

(3)變式：觀察式子的結構形式的差異，選擇適當的變形途徑，如昇冪、降冪、配方、開方等．

2．利用半角公式求值的思路

(1)看角：看已知角與待求角的2倍關係．

(2)明範圍：求出對應半角的範圍為定符號作準備．

(3)選公式：涉及半角公式的正切值時，常用tanα2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，涉及半角公式的正、餘弦值時，常利用sin2α2＝1－cos α2，cos2α2＝1＋cos α2計算．

(4)下結論：結合(2)求值．

提醒：已知cos α的值可求α2的正弦、餘弦、正切值，要注意確定其符號．

三角恆等式的證明

【例2】求證：cos2α1tanα2－tanα2＝14sin 2α.

[思路點撥]　法一：切化弦用二倍角公式由左至右證明；

法二：cos2α不變，直接用二倍角正切公式變形．

規律方法

三角恆等式證明的常用方法

1執因索果法：證明的形式一般化繁為簡；

2左右歸一法：證明左右兩邊都等於同一個式子；

3拼湊法：針對題設與結論之間的差異，有針對性地變形，以消除它們之間的差異，簡言之，即化異求同；

4比較法：設法證明「左邊－右邊＝0」或「左邊/右邊＝1」；

5分析法：從被證明的等式出發，逐步地探求使等式成立的條件，直到已知條件或明顯的事實為止，就可以斷定原等式成立.

三角函數在實際問題中的應用

[探究問題]

1．用三角函數解決實際問題時，通常會選什麼作為自變數？求定義域時應注意什麼？

提示：通常選角作為自變量，求定義域時要注意實際意義和正弦、餘弦函數有界性的影響．

2．建立三角函數模型後，通常要將函數解析式化為何種形式？

提示：化成y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式．

規律方法

應用三角函數解實際問題的方法及注意事項

1方法：解答此類問題，關鍵是合理引入輔助角，確定各量之間的關係，將實際問題轉化為三角函數問題，再利用三角函數的有關知識求解.

2注意：在求解過程中，要注意三點：①充分借助平面幾何性質，尋找數量關係.②注意實際問題中變數的範圍.③重視三角函數有界性的影響.

提醒：在利用三角變換解決實際問題時，常因忽略角的範圍而致誤.

課堂小結

1．學習三角恆等變換，千萬不要只顧死記硬背公式，而忽視對思想方法的理解，要學會借助前面幾個有限的公式來推導後繼公式，立足於在公式推導過程中記憶公式和運用公式．

2．研究形如f(x)＝asin x＋bcos x的函數性質，都要運用輔助角公式化為一個整體角的正弦函數或餘弦函數的形式．因此輔助角公式是三角函數中應用較廣泛的重要公式，也是高考常考的考點之一．對一些特殊的係數a、b應熟練．例如sin x±cos x＝2sinx±π4；sin x±3cos x＝2sinx±π3等.

三角恆等變換PPT，第四部分內容：當堂達標固雙基

1．思考辨析

(1)cos α2＝1＋cos α2.()

(2)存在α∈R，使得cos α2＝12cos α.()

(3)對於任意α∈R，sin α2＝12sin α都不成立． ()

(4)若α為第一象限角，則tan α2＝1－cos α1＋cos α.()

2．若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是減函數，則a的最大值是()

A.π4B.π2

C.3π4D． π

3．函數f(x)＝sin2x的最小正週期為________．

4．北京召開的國際數學家大會，會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的．弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成一個大正方形(如圖所示)．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，求cos 2θ.

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更新時間: 2024-09-29

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