《充分条件、必要条件》集合与常用逻辑用语PPT(第2课时充要条件)

《充分条件、必要条件》集合与常用逻辑用语PPT(第2课时充要条件)

第一部分内容：学 习 目 标

1.理解充要条件的概念．(难点)

2．能够判定条件的充分、必要、充要性．(重点)

3．会进行简单的充要条件的证明．(重点、难点)

核 心 素 养

1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．

2．通过充分、必要、充要性的应用，培养数学运算素养.

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充分条件必要条件PPT，第二部分内容：自主预习探新知

新知初探

1．充要条件的概念

一般地，如果既有_______，又有_______，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称______．

2．充要条件的判断

(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的______条件，简称______条件．

概括地说，如果p⇔q，那么p与q______条件．

(1)若p⇒q，但q p，则称p是q的充分不必要条件．

(2)若q⇒p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．

(3)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

思考：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？

(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？

提示：(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.

(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．

②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．

初试身手

1．下列命题，条件p是结论q的充要条件的是()

A．p：a＝0，q：ab＝0　B．p：a＝b，q：(a－b)2＝0

C．p：|a|＝1，q：a＝1 D．p：a＝b，q：|a|＝|b|

2. 设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是()

A．x>1　 B．x<1

C．x>3 D．x<3

3．“a＝0且b＝0”是“a2＋b2＝0，a，b是实数”的()

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．有下列命题： ①a＞b＞0是a2＞b2的充要条件； ②a＞b＞0是1a＜1b的充要条件； ③a＞b＞0是a3＞b3的充要条件．其中错误的说法有________．(填序号)

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充分条件必要条件PPT，第三部分内容：合作探究提素养

充要条件的判断

【例1】下列各题中，哪些p是q的充要条件？

(1)p：x>0，y>0，q：xy>0；

(2)p：a>b，q：a＋c>b＋c；

(3)p：x>5，q：x>10；

(4)p：a>b，q：a2>b2.

[解]　命题(1)中，p⇒q，但q p，故p不是q的充要条件；

命题(2)中，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件；

命题(3)中，p q，但q⇒p，故p不是q的充要条件；

命题(4)中，p q，且q p，故p不是q的充要条件．

规律方法

充要条件判断的两种方法

(1)要判断一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即判断两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．

(2)在判断的过程中也可以转化为集合的思想来判断，判断p与q的解集是相同的，判断前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．

提醒：判断时一定要注意，分清充分性与必要性的判断方向．

充分条件、必要条件、充要条件的应用

[探究问题]

1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？

2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N呢？

规律方法

利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围

1化简p，q两命题；

2根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系；

3利用集合间的关系建立不等式；

4求解参数范围.

有关充要条件的证明或求解

【例3】已知a＋b≠0，证明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.

[证明]　先证充分性：若a＋b＝1，

则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立，

必要性：若a2＋b2－a－b＋2ab＝0，则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0，

∵a＋b≠0，∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1成立，

综上，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.

规律方法

充要条件的证明策略

1要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方面进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.

2在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.

课堂小结

1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．

2．充要条件的证明与探求

(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明，在证明时要注意两种叙述方式的区别：

①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；

②p的充要条件是q，则p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．

(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．

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充分条件必要条件PPT，第四部分内容：当堂达标固双基

1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的()

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

2．设实数a，b满足|a|＞|b|，则“a－b＞0”是 “a＋b＞0”的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．函数y＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是()

A．m＝－2　B．m＝2

C．m＝－1 D．m＝1

4．在平面直角坐标系中，点(x,1－x)在第一象限的充要条件是________．

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