基本概念之数字信号处理DSP：采样后的时间信号频谱是周期性的，周期即为采样速度。
这个定理可以让我们形象地想象出如下图景：
- 在时域中进行的动态采样，等效于在频域中进行周期性延拓，这个周期等于时域的采样率。
关于这个结论，教科书中有很多推导方法，但我们今天从另一个角度来探讨这个问题：
通过离散傅里叶变换DFT解释这一原理
图1 离散傅里叶级数，截取一个周期变成DFT
现在我们给出定义：有限长序列的离散傅里叶变换。设有限长序列x(n)长度为N(在0≤n≤N-1范围内)，它的离散傅里叶变换X(k)也是长度为N(在0≤k≤N-1范围内)的频域有限长序列。
准确来说，离散X(k)是时间序列x(n)的离散频率谱。
- n为时间序号
- k为频率序号
- N为时间序列x(n)的样本点总数
图1中，我们只选择一个周期(主值序列)来观察，即为离散傅里叶变换DFT。
我们可以发现，时间与频率的关系如下：
- t=nTs②
- f=kf1=k/T1=k/NTs=kfs/N ③
其中，Ts是采样时间间隔(以秒为单位)，fs=1/Ts为采样频率(以Hz为单位)。而且T1/Ts=N；
当n的范围为0到N-1时，k的取值范围取决于我们要计算X(k)的频率范围。例如，如果我们让k=0到N-1，等式③将产生f=0到fs(N-1)/N的频率范围，这是DFT的常规范围。
接下来，我们将在k=-2N到2N-1的更宽范围内评估X(k)，这将产生f=-2fs到fs(2n-1)/N的频率范围。
假设一个长度为32的实值时间序列
图1 DFT幅值图
图2展示了时间序列x(n)、对应的DFT幅值和dB-幅值。
如图2所示，频谱是周期性的，周期为fs。
关于频谱的周期性，我们可以直接从DFT方程中找到答案。
方程中存在一个复指数函数e，我们可以理解为：
将一个圆(2π)等分成N份，即2π/N，然后取第k个值，即2πk/N。
然后开始计算。
每算一圈(2π)，循环再开始。
因此计算结果必然是周期性的，且周期为N。
如图3所示。最顶上的图显示了我们计算得到的DFT变换X(k)。
图3中间显示了k=0到N-1范围内的X(k)；
图3底部的图只显示k=-N/2到N/2-1的样本，这是同样有效的范围。
图3 放大看DFT
让我们看看在k=-N/2到N/2-1范围内计算的DFT。
图4展示了DFT的实数部分、虚数部分和幅度值。
图4说明了DFT的另一个属性：
对于实数序列x(n)，DFT的实数部分为偶函数，虚数部分为奇函数。
这一属性在k=0到N-1范围内计算的DFT中同样适用，但在这种情况下，偶数和奇数是基于fs/2 Hz定义的，而不是0 Hz。
图4 从上到下依次为实数部分、虚数部分和幅值
如果您对此感兴趣，欢迎点赞和评论。
若需代码示例，请私信联系。
文章为用户上传，仅供非商业浏览。发布者：Lomu，转转请注明出处： https://www.daogebangong.com/articles/detail/shi-yu-shang-de-cai-yang-VS-pin-yu-shang-de-zhou-qi-yan-tuo-yong-li-san-fu-li-ye-bian-huan-zhi-guan-di-yan-shi.html
支付宝扫一扫 
评论列表（196条）
测试